Κέντρο μάζας

Σε μια απλή προσομοίωση τοποθετούμε κύκλους σταθερής ή όχι διαμέτρου και προσδιορίζεται το κέντρο μάζας τους.

Τυχαίος βηματισμός, Εντροπία

Ένα σύνολο από μπαλίτσες ξεκινούν από το ίδιο σημείο και κινούνται με τυχαίο βηματισμό. Παρακολουθούμε μια από αυτές, η απόσταση που διανύει είναι ανάλογη του χρόνου. Η εντροπία του συστήματος αυξάνεται.

Υδάτινα κύματα

Μια προσομοίωση της κίνησης του νερού στα υδάτινα κύματα. Επιλέγουμε μήκος κύματος και πλάτος. Υπάρχει και ένα ψαράκι!

Περίθλαση

Παρακολουθούμε ένα επίπεδο κύμα που συναντάει μια σχισμή και περιθλάται.

Το μήκος κύματος η θέση και το πλάτος της σχισμής είναι οι ελεύθερες παράμετροι.Βλέπουμε ακόμα την ένταση του κύματος μετά τη σχισμή.

Διήθηση (percolation)

Ο μηχανισμός της διήθησης (percolation) γίνεται σαφής με ένα παράδειγμα: Σε τετράγωνη επιφάνεια επικάθονται σωματίδια μετάλλου με τυχαίο τρόπο. Το κάθε σωματίδιο μπορεί να έρθει σε επαφή με τα τέσσερα γειτονικά του. Αν η πιθανότητα p να καλυφθεί ένα σημείο της επιφάνειας από σωματίδιο μετάλλου είναι μικρή, τότε η επιφάνεια δεν γίνεται ποτέ αγώγιμη. Σχηματίζονται μικρές αγώγιμες περιοχές που δεν επικοινωνούν μεταξύ τους. Αντίθετα αν το p είναι μεγάλο οι νησίδες από αγώγιμο υλικό έρχονται σε επαφή και η επιφάνεια γίνεται αγωγός.

Είναι χαρακτηριστικό ότι η κρίσιμη πιθανότητα (0,593..) είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις της τετράγωνης επιφάνειας. Η προσομοίωση εδώ.

Πρόγνωση

Στη "σκακιέρα" τοποθετούνται ΝΑ και ΝΒ φίλοι των παρατάξεων Α και Β. Σε κάθε καρέ μπορεί να βρίσκεται μόνο ένας οπαδός που επηρεάζει το αμέσως πάνω, κάτω, δεξιά ή αριστερά καρέ..Έστω nA και nΑ είναι οι οπαδοί των δύο παρατάξεων γύρω από ένα καρέ και nC ο αριθμός των κενών καρέ, που είναι οι αναποφάσιστοι. Προφανώς nA+nB+nC=5. Ο κάθε ένας προσπαθεί να επηρεάσει τους γείτονές του σύμφωνα με τους κανόνες:

•    Όταν στο κεντρικό καρέ βρίσκεται οπαδός της παράταξης Α:

     Αν nA μικρότερο ή ίσο του 2 και nB μεγαλύτερο του 2, τότε ο οπαδός που βρίσκεται στο κεντρικό καρέ θα αλλάξει ιδεολογία.
     Αν nA=1 και nB=2  τότε ο οπαδός που βρίσκεται στην κεντρικό καρέ θα αλλάξει ιδεολογία.

• Αντίστοιχα αν βρίσκεται οπαδός της παράταξης Β

• Αν στο κεντρικό καρέ βρίσκεται αναποφάσιστος αυτός θα πεισθεί από τους περισσότερους γείτονές του.

Η εξέλιξη του αγώνα εδώ.

Χάος και Συμμετρία Ι

Ο συνδυασμός συμμετρίας και μιας τυχαίας, επαναληπτικής διαδικασίας δίνει ενδιαφέροντες σχηματισμούς. Τα σχήματα έχουν τριγωνική συμμετρία και χαρακτηρίζονται από τρεις παραμέτρους.

Η ιδέα από το βιβλίο M. Fielf and M. Golubitsky, Symmetry and chaos, Oxford University Press, 1992

Χάος και Συμμετρία ΙΙ

Ο συνδυασμός συμμετρίας και μιας τυχαίας, επαναληπτικής διαδικασίας δίνει ενδιαφέροντες σχηματισμούς. Τα σχήματα έχουν πενταγωνική συμμετρία και χαρακτηρίζονται από τρεις παραμέτρους.

Η ιδέα από το βιβλίο M. Fielf and M. Golubitsky, Symmetry and chaos, Oxford University Press, 1992

Δέντρα

Στην προσομοίωση ένα δέντρο δημιουργείται, προϊόν μιας επαναληπτικής διαδικασίας.

Ηλεκτρική αγωγιμότητα

Σύμφωνα με το μοντέλο του Drude (1900), όταν σε έναν αγωγό εφαρμόσουμε τάση, τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας που κινούνται "ακατάστατα" αποκτούν μια οργανωμένη κίνηση. Συγκρούονται με τα ιόντα του πλέγματος και ξεκινούν εκ νέου με τυχαία ταχύτητα κι την επίδραση του εξωτερικού πεδίου.

Διάδοση θερμότητας

Μια προσομοίωση σχετική με τη διάδοση της θερμότητας. Επιλέγουμε τις θερμοκρασίες στα άκρα μιας ράβδου και παρακολουθούμε τη χρονική εξέλιξη της θερμοκρασίας κατά μήκος της..

Ανάκλαση κυμάτων

Παρακολουθούμε το αποτέλεσμα της συμβολής από την ανάκλαση κυμάτων

Koch, Peano, Sierpinski, Hilbert

Η γραμμή του Koch (που επινοήθηκε από το Σουηδό μαθηματικό Heldge  von Koch το 1904) σχηματίζεται αν στις πλευρές ενός ισοπλεύρου τριγώνου προσθέσουμε άλλα ισόπλευρα τρίγωνα, επ' άπειρον. Αν και το μήκος μιας τέτοιας γραμμής είναι άπειρο, το εμβαδόν που περικλείει είναι πεπερασμένο. Εδώ μπορείτε να δείτε μερικές ακόμα χαρακτηριστικές γραμμές, προϊόντα επαναληπτικών διαδικασιών.

Η λογιστική εξίσωση

Σ' ένα περιφραγμένο λιβάδι εκτρέφονται κουνέλια. Ο αρχικός αριθμός τους είναι μικρός κι ας φανταστούμε την εξέλιξή τους. Είναι αναμενόμενο ότι ο πληθυσμός τους θα αυξηθεί ραγδαία δεδομένου ότι τα κουνέλια δεν κάνουν τίποτε άλλο από το να τρώνε και να πολλαπλασιάζονται.Όμως με την πάροδο του χρόνου ενδεχομένως το χορτάρι  να μη τους αρκεί ή, λόγω του μεγάλου αριθμού τους κάποια επιδημία να τα πλήξει. Ο αριθμός τους ίσως σταθεροποιηθεί, μπορεί ακόμα να ελαττωθεί ή να αυξομειώνεται ακατάστατα....

Παρουσιάζεται η εξέλιξη ενός πληθυσμού με βάση τη λογιστική εξίσωση. Μπορούμε να δούμε την εξάρτηση από την παράμετρο έκταση του λιβαδιού, α, εδώ και εδώ.

Lotka Volterra

Ο ψαράς που ξεκινούσε με το καΐκι του από την Αδριατική αναρωτήθηκε αν θα έπιανε μεγάλα ή μικρά ψάρια. Είχε παρατηρήσει αρκετές φορές το ίδιο φαινόμενο. Άρχιζε τη μέρα του μ' ένα μεγάλο ψάρι και, μετά, όλα τα ψάρια που έπιανε ήταν και αυτά μεγάλα.......
Στο Πανεπιστήμιο της Σιένας ο Ουμπέρτο ντ΄Ανκόνα έκανε στατιστικές μελέτες για τις ψαριές των αλιευτικών της Αδριατικής. Διαπίστωσε παροδικές αυξήσεις στη σχετική συχνότητα των πιο αδηφάγων ψαριών συγκριτικά με τα μικρότερα που αποτελούν την τροφή τους.

Ο Βίτο Βολτέρα, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Ρώμης, ενδιαφερόταν με τον δικό του τρόπο για το ίδιο φαινόμενο.....

 Ο Βολτέρα επινόησε μια μαθηματική διατύπωση που περιέγραφε σωστά τις παρατηρήσεις των ψαράδων.
 Παρόμοια προβλήματα μελετήθηκαν και από τον Άλφερντ Ι. Λότκα.

 (Από το βιβλίο Προβλέψεις, Φ. Μόδης, Παν. Εκδ. Κρήτης, 1996)

Μια προσομοίωση της εξίσωσης Lotka - Volterra υπάρχει εδώ. 

Mandelbrot

Εικόνες από το σύνολο Mandelbrot

Van der Pol

Ο Balthasar van der Pol πειραματίστηκε τη δεκαετία του 20 με ηλεκτρικά κυκλώματα που παρουσιάζουν μη γραμμική συμπεριφορά, χρησιμοποιώντας λυχνίες. Διαπίστωσε την ύπαρξη σταθερών ταλαντώσεων που σήμερα είναι γνωστοί ως οριακοί κύκλοι.

Υδάτινα κύματα

Μια προσομοίωση της κίνησης του νερού καθώς διαδίδονται κύματα. Ελεύθερες παράμετροι ύψος και μήκος κύματος.

Faraday

Το μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο, νόμος του Faraday.
Το μαγνητικό πεδίο μεταξύ των πόλων ενός ηλεκτρομαγνήτη μεταβάλλεται, ώστε να γεννιέται ένα ηλεκτρικό πεδίο. Η προσομοίωση εδώ

Εκκρεμές

Μια προσομοίωση για το εκκρεμές. Μεταβάλλουμε τις αρχικές συνθήκες και παρατηρούμε τις τροχιές στο χώρο των φάσεων, κλειστές ή ανοιχτές (ανάλογα με την ενέργειά και την απόσβεση)