Koch, Peano, Sierpinski, Hilbert

Η γραμμή του Koch (που επινοήθηκε από το Σουηδό μαθηματικό Heldge  von Koch το 1904) σχηματίζεται αν στις πλευρές ενός ισοπλεύρου τριγώνου προσθέσουμε άλλα ισόπλευρα τρίγωνα, επ' άπειρον. Αν και το μήκος μιας τέτοιας γραμμής είναι άπειρο, το εμβαδόν που περικλείει είναι πεπερασμένο. Εδώ μπορείτε να δείτε μερικές ακόμα χαρακτηριστικές γραμμές, προϊόντα επαναληπτικών διαδικασιών.

Η λογιστική εξίσωση

Σ' ένα περιφραγμένο λιβάδι εκτρέφονται κουνέλια. Ο αρχικός αριθμός τους είναι μικρός κι ας φανταστούμε την εξέλιξή τους. Είναι αναμενόμενο ότι ο πληθυσμός τους θα αυξηθεί ραγδαία δεδομένου ότι τα κουνέλια δεν κάνουν τίποτε άλλο από το να τρώνε και να πολλαπλασιάζονται.Όμως με την πάροδο του χρόνου ενδεχομένως το χορτάρι  να μη τους αρκεί ή, λόγω του μεγάλου αριθμού τους κάποια επιδημία να τα πλήξει. Ο αριθμός τους ίσως σταθεροποιηθεί, μπορεί ακόμα να ελαττωθεί ή να αυξομειώνεται ακατάστατα....

Παρουσιάζεται η εξέλιξη ενός πληθυσμού με βάση τη λογιστική εξίσωση. Μπορούμε να δούμε την εξάρτηση από την παράμετρο έκταση του λιβαδιού, α, εδώ και εδώ.

Lotka Volterra

Ο ψαράς που ξεκινούσε με το καΐκι του από την Αδριατική αναρωτήθηκε αν θα έπιανε μεγάλα ή μικρά ψάρια. Είχε παρατηρήσει αρκετές φορές το ίδιο φαινόμενο. Άρχιζε τη μέρα του μ' ένα μεγάλο ψάρι και, μετά, όλα τα ψάρια που έπιανε ήταν και αυτά μεγάλα.......
Στο Πανεπιστήμιο της Σιένας ο Ουμπέρτο ντ΄Ανκόνα έκανε στατιστικές μελέτες για τις ψαριές των αλιευτικών της Αδριατικής. Διαπίστωσε παροδικές αυξήσεις στη σχετική συχνότητα των πιο αδηφάγων ψαριών συγκριτικά με τα μικρότερα που αποτελούν την τροφή τους.

Ο Βίτο Βολτέρα, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Ρώμης, ενδιαφερόταν με τον δικό του τρόπο για το ίδιο φαινόμενο.....

 Ο Βολτέρα επινόησε μια μαθηματική διατύπωση που περιέγραφε σωστά τις παρατηρήσεις των ψαράδων.
 Παρόμοια προβλήματα μελετήθηκαν και από τον Άλφερντ Ι. Λότκα.

 (Από το βιβλίο Προβλέψεις, Φ. Μόδης, Παν. Εκδ. Κρήτης, 1996)

Μια προσομοίωση της εξίσωσης Lotka - Volterra υπάρχει εδώ. 

Mandelbrot

Εικόνες από το σύνολο Mandelbrot

Van der Pol

Ο Balthasar van der Pol πειραματίστηκε τη δεκαετία του 20 με ηλεκτρικά κυκλώματα που παρουσιάζουν μη γραμμική συμπεριφορά, χρησιμοποιώντας λυχνίες. Διαπίστωσε την ύπαρξη σταθερών ταλαντώσεων που σήμερα είναι γνωστοί ως οριακοί κύκλοι.

Υπερίωνας

Μια προσομοίωση της τροχιάς του Υπερίωνα. Αυτός ο δορυφόρος του Κρόνου έχει ακανόνιστο σχήμα και παρουσιάζει χαοτική τροχιά. Στην προσομοίωση μεταβάλλουμε κάποιες παραμέτρους και παρακολουθούμε την εξέλιξη.